Rexroth war von 1996 bis 2006 Intendant der Rundfunk-Orchester und -Chöre Berlin. Auf ihn geht die Verpflichtung von Kent Nagano zum Chefdirigenten des DSO im Jahr 2000 zurück.

Der in Dresden geborene Rexroth studierte Komposition, Dirigieren, Musikwissenschaft, Germanistik und Philosophie an den Universitäten in Köln, Wien und Bonn. Von 1972 bis 1991 war er erster Direktor des Paul-Hindemith-Instituts in Frankfurt am Main. Von 1980 bis 1994 gestaltete er das Programm für die Alte Oper in Frankfurt und war Mitbegründer sowie von 1986 bis 1994 künstlerischer Leiter der Frankfurter Feste.

Auch für das Festival Young Euro Classic in Berlin und die Kasseler Musiktage sowie den Felix-Mendelssohn-Bartholdy-Hochschulwettbewerb fungierte er jeweils als künstlerischer Leiter.